Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K$

eine Determinantenfunktion.

Dann besitzt ${}\triangle$ folgende Eigenschaften.

1. Wenn man eine Zeile von ${}M$ mit ${}s\in K$ multipliziert, so ändert sich ${}\triangle$ um den Faktor ${}s$.
2. Wenn in ${}M$ eine Nullzeile vorkommt, so ist ${}\triangle (M)=0$.
3. Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich ${}\triangle$ mit dem Faktor ${}-1$.
4. Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich ${}\triangle$ nicht.
5. Wenn ${}\triangle (E_{n})=1$ ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix ${}\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}$.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen