Determinantenfunktion/Verhalten bei Zeilenumformungen/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität.
(3) folgt aus Fakt.
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur ${}s$-ten Zeile das ${}a$-fache der ${}r$-ten Zeile addiert wird, ${}r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann

${}\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+a\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$

(5). Wenn ein Diagonalelement ${}0$ ist, so sei ${}r=\max {\left\{i\mid a_{ii}=0\right\}}$. Zur ${}r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der ${}i$-ten Zeilen, ${}i>r$, erreichen, dass aus der ${}r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann ${}0$ sein. Wenn kein Diagonalelement ${}0$ ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu ${}1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist

${}\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\triangle (E_{n})=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\,.$

Zur bewiesenen Aussage