Dezimalbrüche/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.

Dezimalbrüche sind beispielsweise sämtliche ganzen Zahlen (man kann ${}1=10^{0}$ als Nenner nehmen), ferner Zahlen wie

${\frac {1}{10}},{\frac {1}{100}},{\frac {53}{100}},-{\frac {271}{1000}},{\frac {3}{1000000}},....$

Nach unserer Definition liegt ein Dezimalbruch vor, wenn man die dadurch gegebene rationale Zahl mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Das heißt nicht, dass die Zahl in dieser Form vorliegen muss. Beispielsweise sind auch die Brüche

${\frac {1}{2}},{\frac {1}{5}},{\frac {7}{5}},{\frac {13}{20}},-{\frac {7014}{500}}$

Dezimalbrüche, da man sie nach einer Erweiterung mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Dies gilt für alle Brüche mit der Eigenschaft, dass in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur Potenzen von ${}2$ und von ${}5$ vorkommen. Wenn der Bruch gekürzt ist, so sind genau die Brüche der Form ${}{\frac {a}{2^{i}5^{j}}}$ die Dezimalbrüche, siehe Aufgabe.

Die Linealversion der Zahlengeraden markiert neben den ganzen Zahlen die ganzzahligen Vielfachen des Dezimalbruches ${}{\frac {1}{10}}$. Wenn man den Meter als Einheit nimmt, zeigt es die ganzzahligen Vielfachen von ${}{\frac {1}{1000}}$.

Einen Dezimalbruch ${}{\frac {a}{10^{m}}}$ (mit $m\geq 0$) kann man auch in der Form ${}a10^{-m}$ schreiben. Dies ergibt wohl die kompakteste Charakterisierung eines Dezimalbruches, eine rationale Zahl der Form

$a\cdot 10^{k}{\text{ mit }}a,k\in \mathbb {Z} .$

Aus dieser Darstellung ist unmittelbar ersichtlich, dass man Dezimalbrüche miteinander addieren und multiplizieren kann und dabei wieder einen Dezimalbruch erhält.

Lemma

Die Summe und das Produkt von zwei Dezimalbrüchen ist wieder ein Dezimalbruch. Das Negative eines Dezimalbruches ist ein Dezimalbruch.

Die Menge der Dezimalbrüche bilden einen kommutativen Ring innerhalb der rationalen Zahlen.

Beweis

Die Brüche seien

${}x=a\cdot 10^{k}\,$

und

${}y=b\cdot 10^{\ell }\,$

mit ${}a,b\in \mathbb {Z}$ und mit ${}k,\ell \in \mathbb {Z}$. Wegen der Symmetrie können wir ${}k\geq \ell$ annehmen. Dann ist

${}a\cdot 10^{k}+b\cdot 10^{\ell }=a\cdot 10^{k-\ell }\cdot 10^{\ell }+b\cdot 10^{\ell }={\left(a\cdot 10^{k-\ell }+b\right)}\cdot 10^{\ell }\,$

wieder von der gleichen Bauart, also ein Dezimalbruch. Für das Produkt ist

${}a\cdot 10^{k}\cdot b\cdot 10^{\ell }=a\cdot b\cdot 10^{k+\ell }\,.$

Die anderen Behauptungen sind ebenfalls klar.

$\Box$

Die Menge der Dezimalbrüche bilden keinen Körper, da zwar sämtliche ganzen Zahlen Dezimalbrüche sind, ihre inversen Elemente aber im Allgemeinen nicht. Beispielsweise sind ${}3^{-1}$ und ${}7^{-1}$ keine Dezimalbrüche. Für zwei Dezimalbrüche ist es einfach, einen Hauptnenner zu finden, da die Nenner im gekürzten Fall grundsätzlich von der Form ${}2^{i}5^{j}$ sind. Insofern spielt sich bei Rechnungen mit Dezimalbrüchen alles Wesentliche im Zähler ab.

Beispiel

Es ist

${}-7+{\frac {3}{100}}+{\frac {9}{5}}-{\frac {99}{1000}}={\frac {-7000}{1000}}+{\frac {30}{1000}}+{\frac {1800}{1000}}-{\frac {99}{1000}}={\frac {-5269}{1000}}\,$

und

${}{\frac {27}{100}}\cdot {\frac {11}{1000}}={\frac {297}{100000}}\,.$