Dezimalbruch/Primfaktorzerlegung des Nenners/Aufgabe/Lösung

Wenn die rationale Zahl die Form ${}{\frac {a}{2^{i}\cdot 5^{j}}}$ besitzt, so kann man mit ${}2^{j}\cdot 5^{i}$ erweitern und erhält im Nenner ${}10^{i+j}$, so dass ein Dezimalbruch vorliegt. Es sei nun die rationale Zahl

${}z={\frac {a}{b}}\,$

in gekürzter Darstellung gegeben, und sei vorausgesetzt, dass in der Primfaktorzerlegung von ${}b$ eine Primzahl

${}p\neq 2,5\,$

vorkommt. Wir schreiben

${}b=pu\,.$

Nehmen wir an, dass die Zahl ein Dezimalbruch ist, dann gibt es eine Gleichung der Form

${}{\frac {a}{b}}={\frac {a}{pu}}={\frac {c}{10^{k}}}\,.$

Dies bedeutet nach dem Überkreuzprinzip, dass

${}a\cdot 10^{k}=pcu\,$

ist. Wegen der Teilerfremdheit ist ${}p$ kein Teiler von ${}a$, müsste also wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}10^{k}$ vorkommen, was aber nicht der Fall ist. Dies ist ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe