Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt und der Vollständigkeit von ${}\mathbb {R}$.
2. Dies wurde in Fakt bewiesen.
3. Eine Dezimalbruchfolge der Form

   ${\frac {10^{n}-1}{10^{n}}}$

   konvergiert gegen ${}1$, daher konvergieren die beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert. Wenn die beiden Cauchy-Folgen gegen die gleiche reelle Zahl konvergieren, so muss ihre Differenz eine Nullfolge sein. Eine Dezimalbruchfolge erfüllt die Abschätzungen

   ${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,,$

   somit gilt für den Grenzwert ${}x$ insbesondere

   ${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq x\leq {\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,.$

   Wenn sich die beiden Dezimalbruchfolgen unterscheiden, so gibt es einen vordersten Index ${}-k$, wo sie sich unterscheiden. Es ist dann (ohne Einschränkung) ${}a_{k}>b_{k}$. Wenn sie gegen den gleichen Grenzwert konvergieren, so muss wegen der Abschätzungen

   ${}x\leq {\frac {b_{k}+1}{10^{k}}}={\frac {a_{k}}{10^{k}}}\,,$

   also ${}b_{k}+1=a_{k}$ sein. Dies erzwingt ${}w_{-k}=z_{-k}+1$ und die weiteren Bedingungen.

Zur bewiesenen Aussage