Die Zahl pi/Kosinus/Nullstelle/Berechnung/Pseudocode/Aufgabe

Wir möchten ${}\pi /2$ möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mit Hilfe der Kosinusreihe

${}\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k}}{(2k)!}}\,$

und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes (im Sinne von Fakt) bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als ${}n$-te Approximation ${}y_{n}$ für ${}\pi /2$ die untere Intervallgrenze der ${}n$-ten Intervallhalbierung (des Ausgangsintervalls ${}[1,2]$) für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe ${}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$ zu verwenden (man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das die Folgenglieder ${}y_{n}$ berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen.

• Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.

• Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).

• Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.

• Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ${}\neq 0$) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.

• Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.

• Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

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