Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/3/Verfahren

Es seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$. Dann besitzt die Funktion aufgrund des Zwischenwertsatzes eine Nullstelle in diesem Intervall. Diese kann man wie im Beweis des Zwischenwertsatzes beschrieben durch eine Intervallhalbierung ${}[a_{n},b_{n}]$ finden. Dabei setzt man ${}a_{0}=a$ und ${}b_{0}=b$, die weiteren Intervallgrenzen werden induktiv derart definiert, dass ${}f(a_{n})\leq 0$ und ${}f(b_{n})\geq 0$ gilt. Man setzt ${}x_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$ und berechnet ${}f(x_{n})$. Bei ${}f{\left(x_{n}\right)}\leq 0$ setzt man

$a_{n+1}:=x_{n}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{n+1}:=b_{n}$

und bei ${}f{\left(x_{n}\right)}>0$ setzt man

$a_{n+1}:=a_{n}\,\,{\text{ und }}\,\,b_{n+1}:=x_{n}.$

In jedem Fall hat das neue Intervall ${}[a_{n+1},b_{n+1}]$ die halbe Länge des Vorgängerintervalls und es liegt eine Intervallhalbierung vor. Die durch die Intervallschachtelung definierte reelle Zahl ${}x$ ist eine Nullstelle der Funktion.