Wir beschränken uns auf die Situation
und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
und ,
betrachtet die Intervallmitte
und berechnet
-
Bei
setzt man
-
und bei
setzt man
-
In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
Intervallschachtelung.
Sei die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt
definierte
reelle Zahl.
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert , also
.
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
und das überträgt sich ebenfalls auf , also
. Also ist
.