Diffeomorphismus/Euklidische Produktmengen/Eingeschränkter Diffeomorphismus/Aufgabe

Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{k}$ und ${}V_{1},V_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen mit ${}0\in V_{1},V_{2}$ und es sei

$\varphi \colon U_{1}\times V_{1}\longrightarrow U_{2}\times V_{2}$

ein Diffeomorphismus, der eine Bijektion zwischen ${}U_{1}\times \{0\}$ und ${}U_{2}\times \{0\}$

induziert. Zeige, dass dann auch die Einschränkung von ${}\varphi$ auf ${}U_{1}\cong U_{1}\times \{0\}$ nach ${}U_{2}\cong U_{2}\times \{0\}$ ein Diffeomorphismus ist.

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