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Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechung/Aufgabe/Lösung
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Differentialform/Äußere Ableitung/Rückzug/Berechung/Aufgabe
Es ist
d
ω
=
d
(
y
d
x
+
z
d
y
+
x
d
z
)
=
d
y
∧
d
x
+
d
z
∧
d
y
+
d
x
∧
d
z
=
−
d
x
∧
d
y
−
d
y
∧
d
z
+
d
x
∧
d
z
.
{\displaystyle {}d\omega =d{\left(ydx+zdy+xdz\right)}=dy\wedge dx+dz\wedge dy+dx\wedge dz=-dx\wedge dy-dy\wedge dz+dx\wedge dz\,.}
Es ist
φ
∗
ω
=
v
2
d
u
2
+
u
v
d
v
2
+
u
2
d
u
v
=
2
v
2
u
d
u
+
2
u
v
2
d
v
+
u
2
(
u
d
v
+
v
d
u
)
=
(
2
u
v
2
+
u
2
v
)
d
u
+
(
2
u
v
2
+
u
3
)
d
v
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=v^{2}du^{2}+uvdv^{2}+u^{2}duv\\&=2v^{2}udu+2uv^{2}dv+u^{2}(udv+vdu)\\&={\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv.\end{aligned}}}
Es ist
d
(
(
2
u
v
2
+
u
2
v
)
d
u
+
(
2
u
v
2
+
u
3
)
d
v
)
=
d
(
2
u
v
2
+
u
2
v
)
d
u
+
d
(
2
u
v
2
+
u
3
)
d
v
=
(
4
u
v
+
u
2
)
d
v
∧
d
u
+
(
2
v
2
+
3
u
2
)
d
u
∧
d
v
=
(
−
4
u
v
+
2
v
2
+
2
u
2
)
d
u
∧
d
v
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}d{\left({\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv\right)}&=d{\left(2uv^{2}+u^{2}v\right)}du+d{\left(2uv^{2}+u^{3}\right)}dv\\&={\left(4uv+u^{2}\right)}dv\wedge du+{\left(2v^{2}+3u^{2}\right)}du\wedge dv\\&={\left(-4uv+2v^{2}+2u^{2}\right)}du\wedge dv.\end{aligned}}}
Der Rückzug
φ
∗
d
ω
{\displaystyle {}\varphi ^{*}d\omega }
ist
φ
∗
(
−
d
x
∧
d
y
−
d
y
∧
d
z
+
d
x
∧
d
z
)
=
−
d
u
2
∧
d
v
2
−
d
v
2
∧
d
u
v
+
d
u
2
∧
d
u
v
=
−
4
u
v
d
u
∧
d
v
−
2
v
2
d
v
∧
d
u
+
2
u
2
d
u
∧
d
v
=
(
−
4
u
v
+
2
v
2
+
2
u
2
)
d
u
∧
d
v
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\varphi ^{*}{\left(-dx\wedge dy-dy\wedge dz+dx\wedge dz\right)}&=-du^{2}\wedge dv^{2}-dv^{2}\wedge duv+du^{2}\wedge duv\\&=-4uvdu\wedge dv-2v^{2}dv\wedge du+2u^{2}du\wedge dv\\&={\left(-4uv+2v^{2}+2u^{2}\right)}du\wedge dv.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe
