Differentialform/Exakt/Stammform/Eindeutig/Vereinigung sternförmiger Mengen/Aufgabe/Lösung


  1. Es seien Stammformen für die exakte Differentialform, d.h. es gilt

    Dann ist

    es ist also zu zeigen, dass die Nullform nur die konstanten Abbildungen als Stammformen besitzt. Es seien Punkte in und sei ein stetig differenzierbarer Weg, der und verbindet. Für das Wegintegral zur Nullform über und einer Stammform gilt nach Fakt

    d.h. ist konstant.

  2. Nach Fakt besitzt auf eine Stammform, sagen wir , und ebenso besitzt auf eine Stammform, sagen wir . Es sei ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen die Stammform auf durch die verschobene Stammform

    Es ist dann

    Da zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Stammformen darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt die Stammform , eingeschränkt auf , mit der Stammform , eingeschränkt auf , überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Stammformen und passen also auf der Übergangsmenge zusammen und definieren daher auf eine Stammform.