Differentialform/Offene Menge/Äußere Ableitung/Definition

Äußere Ableitung von Differentialformen (lokaler Fall)

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und es sei ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(U)$ eine stetig differenzierbare ${}k$-Differentialform mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dx_{I}\,$

mit stetig differenzierbaren Funktionen

$f_{I}\colon U\longrightarrow \mathbb {R} .$

Dann nennt man die ${}(k+1)$-Form

${}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,$

die äußere Ableitung von ${}\omega$.