Differentialgeometrie/Hyperfläche/Einführung/Textabschnitt

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$. Diese Teilmengen werden insbesondere im Kontext des Satzes über implizite Abbildungen studiert. Wenn das totale Differential

$\left(Dh\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

für jeden Punkt ${}P\in Y$ surjektiv ist, wenn also stets ${}P$ ein regulärer Punkt der Abbildung ist, so ist ${}Y$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ homöomorph zu einer offenen Menge im ${}\mathbb {R} ^{n-1}$. Ferner haben wir in diesem Kontext den Tangentialraum an die Faser als den Kern des totalen Differentials eingeführt. Dieser ist ein ${}(n-1)$-dimensionaler Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{n}$, man stellt sich ihn aber typischerweise als an den Punkt ${}P$ anliegend vor, also als einen affin-linearen Raum. Dieser Tangentialraum schmiegt sich im Punkt ${}P$ an ${}Y$ an. Wir nennen ${}Y$ eine Hyperfläche, da ihr Tangentialraum eine Dimension weniger als der umgebende Raum besitzt. Bei ${}n=3$ liegt in der Tat eine Fläche vor. Wenn man mit dem Standardskalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{n}$ arbeitet, kann man den Tangentialraum an die Faser auch als den Raum aller Vektoren auffassen, die senkrecht zum Gradienten ${}\operatorname {Grad} \,h(P)$ stehen.

Beispiel

Es sei

${}h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,$

und wir betrachten die Faser ${}Y$ zu ${}h$ über ${}1$, also die Kugeloberfläche zum Radius ${}1$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Das totale Differential ist ${}\left(2x,\,2y,\,2z\right)$, in einem jeden Punkt der Kugeloberfläche ist also zumindest ein Eintrag ungleich ${}0$ und daher ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Es sei ${}P=\left(a,\,b,\,c\right)\in Y$. Der Tangentialraum in ${}P$ ist durch die lineare Bedingung

${}ax+by+cz=0\,$

gegeben, das ist die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Gradienten ${}{\begin{pmatrix}2a\\2b\\2c\end{pmatrix}}$ stehen.

Beispiel

Es sei ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n-1}$ eine offene Menge und sei

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Der Graph von ${}f$ ist

${}Y={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\mid x_{1},\ldots ,x_{n-1}\in V\right\}}\subseteq V\times \mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,$

die man auch als Nullstellengebilde (Faser über ${}0$) von

${}h(x_{1},\ldots ,x_{n}):=x_{n}-f(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\,$

auffassen kann. Die partiellen Ableitungen von ${}h$ sind

$-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}},1.$

Insbesondere ist ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär. Der Tangentialraum an ${}Y$ in einem Punkt ${}P\in Y$ steht senkrecht auf ${}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P)\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}(P)\\1\end{pmatrix}}$. Jede parametrisierte Grundgerade ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n-1}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}$ wird zur parametrisierten Kurve

$I\longrightarrow Y,\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}$

auf ${}Y$, deren Ableitung einen Tangentialvektor ergibt. Wenn man den Weg zu

${}v=e_{i}\,$

mit ${}\gamma _{i}$ bezeichnet, so ist

${}\gamma '_{i}(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\1\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$

und

${}\gamma _{i}^{\prime \prime }(t)={\begin{pmatrix}\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\end{pmatrix}}\,$

nach Fakt.