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Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Ohne Phase/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe/Lösung
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Differentialgleichung/Archimedische Spiralen als Lösungen/Ohne Phase/Spezielles Anfangswertproblem/Aufgabe
a) Es ist
(
x
y
)
′
(
t
)
=
(
a
t
cos
t
a
t
sin
t
)
′
=
(
a
cos
t
−
a
t
sin
t
a
sin
t
+
a
t
cos
t
)
=
(
a
t
cos
t
t
−
a
t
sin
t
a
t
sin
t
t
+
a
t
cos
t
)
=
(
x
(
t
)
t
−
y
(
t
)
y
(
t
)
t
+
x
(
t
)
)
.
{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'(t)={\begin{pmatrix}at\cos t\\at\sin t\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}a\cos t-at\sin t\\a\sin t+at\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {at\cos t}{t}}-at\sin t\\{\frac {at\sin t}{t}}+at\cos t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x(t)}{t}}-y(t)\\{\frac {y(t)}{t}}+x(t)\end{pmatrix}}\,.}
b) Die Bedingung
v
(
π
2
)
=
(
a
π
2
cos
π
2
a
π
2
sin
π
2
)
=
(
3
3
)
{\displaystyle {}v{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}={\begin{pmatrix}a{\frac {\pi }{2}}\cos {\frac {\pi }{2}}\\a{\frac {\pi }{2}}\sin {\frac {\pi }{2}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}\,}
führt wegen
cos
π
2
=
sin
π
2
=
1
2
{\displaystyle {}\cos {\frac {\pi }{2}}=\sin {\frac {\pi }{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
auf
a
=
6
2
π
.
{\displaystyle {}a={\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}\,.}
Also ist
v
(
t
)
=
(
6
2
π
t
cos
t
6
2
π
t
sin
t
)
{\displaystyle {}v(t)={\begin{pmatrix}{\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}t\cos t\\{\frac {6{\sqrt {2}}}{\pi }}t\sin t\end{pmatrix}}\,}
die Lösung des Anfangswertproblems.
Zur gelösten Aufgabe