Differentialgleichung/Inhomogen/Konstante affin-lineare Koeffizienten/Abkühlung/Beispiel

Wir betrachten die inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=ay+b\,$

mit Konstanten ${}a,b\in \mathbb {R}$. Die Funktion

${}z(t)=e^{at}\,$

ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu ${}be^{-at}$ bestimmen. Diese sind durch ${}-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c$ gegeben. Also haben die Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung die Form

${}{\left(-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c\right)}\cdot e^{at}=c\cdot e^{at}-{\frac {b}{a}}\,.$

Lieber den Kaffee trinken, bevor er gemäß einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung die Außentemperatur angenommen hat.

Eine solche Differentialgleichung tritt bei Abkühlungsprozessen auf. Wenn ein (heißer) Körper (beispielsweise eine Tasse Kaffee) sich in einem umgebenden Medium (beispielsweise in einem Straßencafé) mit konstanter Außentemperatur ${}A$ befindet, so wird die Temperaturentwicklung ${}y(t)$ des Körpers nach dem Newtonschen Abkühlungsgesetz durch die Differentialgleichung

${}y'(t)=-d(y(t)-A)\,$

beschrieben. Dieses Gesetz besagt, dass die Abkühlung proportional zur Differenz zwischen Außentemperatur und Körpertemperatur ist (der Proportionalitätsfaktor ${}d>0$ hängt von der Wärmeleitfähigkeit des Körpers ab). Die Lösungen sind

${}y(t)=ce^{-dt}+A\,.$

Dabei ist das ${}c$ durch eine Anfangsbedingung bestimmt, also typischerweise durch die Anfangstemperatur des Körpers zum Zeitpunkt ${}0$. Für ${}t\rightarrow +\infty$ nimmt der Körper die Außentemperatur ${}A$ an.