Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt

Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen

Es sei

${}y'=g(t)y+h(t)\,$

eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen ${}g,h\colon I\rightarrow \mathbb {R}$. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion von ${}g$ und es sei

${}a(t)=\exp(G(t))\,$

eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung.

Dann sind die Lösungen (auf ${}I$) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

${}y(t)=c(t)a(t)\,,$

wobei ${}c(t)$ eine Stammfunktion zu ${}{\frac {h(t)}{a(t)}}$ ist.

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y+h(t){\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen