Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist
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![{\displaystyle {}v(t_{0})=w\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f35a380ab8ef7d6f22a4e96a8345c468501946)
und aufgrund
des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung
gilt
.
Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass
differenzierbar
ist.
Wenn umgekehrt
eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist
und daher
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![{\displaystyle {}w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds=w+\int _{t_{0}}^{t}v'(s)\,ds=w+v(t)-v(t_{0})=v(t)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed744e016e5e17f46c6ac17b1a1c9fa11cb866cd)