Differentialgleichung/Stetig/Integralgleichung/Fakt

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf ${}U$. Es sei ${}(t_{0},w)\in I\times U$ vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow U,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall ${}J\subseteq I$ mit ${}t_{0}\in J$ genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss ${}v$ differenzierbar sein)

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ die Integralgleichung

${}v(t)=w+\int _{t_{0}}^{t}f(s,v(s))\,ds\,$

erfüllt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen