Differentialgleichungssystem/Senkrecht mit skalarer Funktion/Aufgabe

Wir betrachten ein Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

der Form

${}F(x,y)=g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$

mit einer stetigen Funktion ${}g\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$.

1. Zeige, dass für jeden Punkt ${}(x,y)$ der Richtungsvektor ${}F(x,y)$ senkrecht auf dem Ortsvektor ${}(x,y)$ steht.
2. Es sei ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$. Zeige, dass ${}x^{2}(t)+y^{2}(t)$ konstant ist.
3. Es sei

   $z\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto z(t),$

   eine Lösung der Differentialgleichung

   ${}z'=g(\cos z,\sin z)\,$

   in der einen Variablen ${}z$. Zeige, dass

   ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}\,$

   eine Lösung der Differentialgleichung ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$ ist.

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