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Differentialgleichungssystem/Senkrecht mit skalarer Funktion/Aufgabe/Lösung
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Differentialgleichungssystem/Senkrecht mit skalarer Funktion/Aufgabe
Es ist
⟨
(
x
y
)
,
F
(
x
,
y
)
⟩
=
⟨
(
x
y
)
,
g
(
x
,
y
)
(
−
y
x
)
)
⟩
=
g
(
x
,
y
)
⟨
(
x
y
)
,
(
−
y
x
)
)
⟩
=
g
(
x
,
y
)
(
−
x
y
+
y
x
)
=
0
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},F(x,y)\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x)\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=g(x,y)\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-y\\x)\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=g(x,y)(-xy+yx)\\&=0,\end{aligned}}}
als ist der Richtungsvektor senkrecht zum Ortsvektor.
Es ist
(
x
2
(
t
)
+
y
2
(
t
)
)
′
=
2
x
(
t
)
x
′
(
t
)
+
2
y
(
t
)
y
′
(
t
)
=
−
2
x
(
t
)
g
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
y
(
t
)
+
2
y
(
t
)
g
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
x
(
t
)
=
0
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(x^{2}(t)+y^{2}(t)\right)}'&=2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)\\&=-2x(t)g(x(t),y(t))y(t)+2y(t)g(x(t),y(t))x(t)\\&=0,\end{aligned}}}
deshalb ist
x
2
(
t
)
+
y
2
(
t
)
{\displaystyle {}x^{2}(t)+y^{2}(t)}
konstant.
Es ist
(
x
(
t
)
y
(
t
)
)
′
=
(
cos
z
(
t
)
sin
z
(
t
)
)
′
=
(
−
z
′
(
t
)
⋅
sin
z
(
t
)
z
′
(
t
)
⋅
cos
z
(
t
)
)
=
z
′
(
t
)
(
−
sin
z
(
t
)
cos
z
(
t
)
)
=
g
(
cos
z
(
t
)
,
sin
z
(
t
)
)
(
−
sin
z
(
t
)
cos
z
(
t
)
)
=
F
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}'&={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}-z'(t)\cdot \sin z(t)\\z'(t)\cdot \cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=z'(t){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=g(\cos z(t),\sin z(t)){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=F(x(t),y(t)).\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe