Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt/latex
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}
Das Konzept eines
\definitionswort {Differentialoperators}{}
wird induktiv definiert, wobei es sich um spezielle
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
von $R$ nach $R$ handelt.
\aufzaehlungzwei {Ein Differentialoperator der Ordnung $0$ ist die Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {x} {xf
} {,}
zu einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
} {Ein Differentialoperator $E$ der Ordnung $\leq n$ ist eine lineare Abbildung
\maabb {E} {R} {R
} {}
mit der Eigenschaft, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
die Abbildung
\mathdisp {E \circ \mu_f - \mu_f \circ E} { }
ein Differentialoperator der Ordnung
\mathl{\leq n-1}{} ist.
}
}
Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung
\zusatzklammer {genau} {} {}
$n$ besitzt, wenn er eine Ordnung $\leq n$, aber nicht $\leq n-1$ besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung $1$ sind einfach Derivationen, also $K$-lineare Abbildungen
\maabb {D} {R} {R
} {,}
die die Leibniz-Regel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D (fg)
}
{ =} {f D(g)+ gD(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Diese Regel kann man auch
\zusatzklammer {was zunächst komplizierter aussieht} {} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D (fg)
}
{ =} {f D(g)+ gD(f) -fg D(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf $0$ abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von dem Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung $\leq 1$. Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung.
\inputfaktbeweis
{Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und sei
\maabb {E} {R} {R
} {}
eine $K$-lineare Abbildung.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$E$ ist ein
\definitionsverweis {Differentialoperator}{}{}
der Ordnung $\leq n$.
} {Für beliebige Elemente
\mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_n \in R}{} gilt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ E(f_0 \cdots f_n)
}
{ =} { \sum_{s =1}^{n+1} (-1)^{s+1} \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, { \# \left( I \right) } = s } \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen beide Richtungen durch Induktion über $n$. Wenn $E$ ein Operator der Ordnung $0$ ist, so handelt es sich nach Definition um die Multiplikation $\mu_g$ mit einem Element $g$. Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E(f_0)
}
{ =} { gf_0
}
{ =} { E(1) f_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei nun $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$ und Elemente
\mathl{f_0 , \ldots , f_{n+1} \in R}{} gegeben. Aufgrund der induktiven Definition ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D
}
{ \defeq} { E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Operator der Ordnung $\leq n$ und erfüllt somit nach Induktionsvoraussetzung die angegebene Produktformel. Somit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ E { \left( f_0 \cdots f_{n+1} \right) }
}
{ =} { E \circ \mu_{f_{n+1} } { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) }
}
{ =} { D { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) } + \mu_{f_{n+1} } \circ E { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) }
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot D { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } + f_{n+1} E { \left( f_0 \cdots f_{n} \right) }
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot { \left( E{ \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } - f_{n+1} E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } \right) } + f_{n+1} E{ \left( f_0 \cdots f_{n} \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } + \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \} } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \cdot f_{n+1} \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Es sei nun umgekehrt die Produktbedingung erfüllt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E (f_0)
}
{ =} { f_0 E(1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es liegt die Multiplikation mit $E(1)$ vor, also ein Operator der Ordnung $0$. Es sei nun $E$ eine $K$-lineare Abbildung, die die Produktformel für $n+1$ Elemente erfülle. Wir zeigen, dass dann die Abbildung
\mathdisp {E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E} { }
die Produktformel für $n$ Elemente besitzt und daher nach Induktionsvorausetzung ein Operator der Ordnung $\leq n$ ist, sodass $E$ selbst ein Operator der Ordnung
\mathl{\leq n+1}{} ist. Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E \right) } { \left( f_0 \cdots f_n \right) }
}
{ =} { E { \left( f_0 \cdots f_n \cdot f_{n+1} \right) } -f_{n+1} E { \left( f_0 \cdots f_n \right) }
}
{ =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) } -f_{n+1} E { \left( f_0 \cdots f_n \right) }
}
{ =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset, \{ n+1\} } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) }
}
{ =} { \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, J \neq \emptyset, \, n+1 \notin J } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) } + \sum_{J \subseteq \{0 , \ldots , n+1 \},\, n+1 \in J , \, J \neq \{n+1\} } (-1)^{ { \# \left( J \right) } +1 } \prod_{i \in J} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin J} f_i \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) }
+ \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n,\, I \neq \emptyset \} } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \cdot f_{n+1} E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ =} {\sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot { \left( E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \cdot f_{n+1} \right) } - f_{n+1} E { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) } \right) }
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1 } \prod_{i \in I} f_i \cdot { \left( E \circ \mu_{f_{n+1} } - \mu_{f_{n+1} } \circ E \right) } { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ } {}
}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
Ein Differentialoperator
\maabb {E} {R} {R
} {}
auf einer $K$-Algebra $R$ besitzt eine eindeutige Fortsetzung $\tilde{E}$ auf der Nenneraufnahme $R_W$ zu einem multiplikativen System
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese wird induktiv über die Ordnung von $E$ definiert. Für die Ordnung $0$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{E} { \left( { \frac{ f }{ w } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ E(f) }{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es sei die Fortsetzung nun für alle Operatoren der Ordnung $\leq n$ definiert und sei $E$ ein Operator der Ordnung $\leq n+1$. Dann setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{E} { \left( { \frac{ f }{ w } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ E(f)- \widetilde{[E, \mu_w] } { \left( { \frac{ f }{ w } } \right) } }{ w } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Fortsetzung rechts aufgrund der kleineren Ordnung schon definiert ist.
}