Differentialoperatoren/Restklassenring/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}P$ eine kommutative ${}K$-Algebra und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq P$ ein Ideal mit Restklassenring ${}R=P/{\mathfrak {a}}$

Dann induziert ein Differentialoperator ${}D\colon P\rightarrow P$ der Ordnung ${}\leq n$ einen Differentialoperator auf ${}R$ der Ordnung ${}\leq n$, wenn

${}D({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathfrak {a}}\,$

ist.

Beweis

Der Operator ${}D$ induziert unter der gegebenen Voraussetzung eine ${}K$-lineare Abbildung ${}{\tilde {D}}\colon R\rightarrow R$, die wir als Differentialoperator nachweisen müssen. Dies geschieht durch Induktion über die Ordnung des Operators ${}D$ auf ${}P$. Für Ordnung ${}0$ liegt Multiplikation mit einem Element ${}x\in P$ vor. Die Bedingung ${}x{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}$ ist automatisch erfüllt. Dies induziert auf dem Restklassenring die Multiplikation mit ${}{\tilde {x}}$, ist also wieder ein Differentialoperator der Ordnung ${}0$. Es sei nun die Aussage für ein ${}n$ und jeden Differentialoperator auf ${}P$ der Ordnung ${}\leq n$ bereits bewiesen. Es sei ${}D$ ein Differentialoperator auf ${}P$ der Ordnung ${}\leq n+1$. Zu ${}h\in {\mathfrak {a}}$ ist

${}(D\circ \mu _{x})(h)=D(xh)\in {\mathfrak {a}}\,$

und

${}(\mu _{x}\circ D)(h)=xD(h)\in {\mathfrak {a}}\,,$

somit erfüllt auch der Kommutator ${}[D,\mu _{x}]$ die Voraussetzung. Dabei ist

${}{\widetilde {[D,\mu _{x}]}}=[{\tilde {D}},\mu _{\tilde {x}}]\,$

und somit ist ${}[{\tilde {D}},\mu _{\tilde {x}}]$ nach Induktionsvoraussetzung ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n$ auf ${}R$, also ist ${}{\tilde {D}}$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}\leq n+1$ auf ${}R$.

$\Box$