Differenzierbar/D offen K/Summenregel/Fakt/Beweis

Beweis

Wir schreiben ${}f$ bzw. ${}g$ mit den in Fakt formulierten Objekten, also

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,$

und

${}g(x)=g(a)+{\tilde {s}}(x-a)+{\tilde {r}}(x)(x-a)\,.$

Summieren ergibt

${}f(x)+g(x)=f(a)+g(a)+(s+{\tilde {s}})(x-a)+(r+{\tilde {r}})(x)(x-a)\,.$

Dabei ist die Summe ${}r+{\tilde {r}}$ wieder stetig in ${}a$ mit dem Wert ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage