Differenzierbare Funktion/Graph/Hyperfläche/Weingartenabbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir knüpfen an Beispiel an. Das nach oben gerichtete Einheitsnormalenfeld ist durch

$N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\,$

gegeben. Wir betrachten den Weg

${}\gamma (t)={\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\\f{\begin{pmatrix}x_{1}+tv_{1}\\\vdots \\x_{n-1}+tv_{n-1}\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}\,$

auf dem Graphen zum Grundvektor ${}v$. Die zweite Ableitung davon ist

${}\gamma ^{\prime \prime }(0)={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}}\,.$

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle L_{P}(\gamma '(0)),\gamma '(0)\right\rangle \\&=\left\langle \gamma ^{\prime \prime }(0),N(x_{1},\ldots ,x_{n-1},f(x_{1},\ldots ,x_{n-1}))\right\rangle \\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left\langle {\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\-{\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&={\frac {\sum _{1\leq i,j\leq n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}v_{i}v_{j}}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)}^{2}+\cdots +{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{n-1}}}\right)}^{2}}}}\left(v_{1},\,\ldots ,\,v_{n-1}\right)\operatorname {Hess} _{}\,f{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n-1}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Das bedeutet, dass die nach Fakt symmetrische Bilinearform ${}\left\langle L_{P}(-),-\right\rangle$ im Tangentialraum ${}T_{P}Y$ mit der durch die (durch den Vorfaktor) skalierte Hessematrix gegebenen Bilinearform auf ${}\mathbb {R} ^{n-1}$ übereinstimmt, wenn vorne und hinten der gleiche Vektor eingesetzt wird. Nach Fakt stimmen dann generell die Bilinearformen über ein. Dann stimmen auch die linearen Abbildungen ${}L_{P}$ und die durch die Hessematrix gegebene lineare Abbildung überein.

Zur bewiesenen Aussage