Differenzierbare Funktionen/R nach R/Unendlich/Ableitungsabbildung/Eigenwerte Eigenvektoren Dimension/Aufgabe/Kommentar
Hier ist vielleicht auf den allerersten Blick gar nicht klar, was das mit Differentialgleichungen zu tun hat. Es werden Begriffe aus der linearen Algebra, insbesondere für lineare Abbildungen verwendet, obwohl doch Differentialgleichungen zur Analysis gehören. Der Punkt ist, dass wir es hier mit sogenannten Funktionenräumen zu tun haben, also unendlich dimensionalen reellen Vektorräumen, deren Elemente Funktionen sind. Man muss sich zuerst klar machen, wie hier die Vektorraumstruktur aussieht (siehe die vorstehende Aufgabe).
Es liegt eine Abbildung des Raumes in sich vor, also eine Abbildung von Abbildungen - das ist die normalste Sache der Welt (manchmal spricht man von einem Funktional.) Die Gesamtabbildung ordnet jeder unendlich oft differenzierbaren Funktion ihre Ableitungsfunktion zu. Zum Nachweis der Linearität muss man sich an einfache Ableitungsregeln erinnern, nämlich
für reelle Zahlen und differenzierbare Funktionen , in Verbindung mit der eben erwähnten Vektorraumstruktur. Diese Gesamtabbildung ist also linear und es lassen sich die Konzepte für lineare Abbildung darauf anwenden. Allerdings kann diese Abbildung nicht durch eine Matrix beschrieben werden. Die Eigenwert- bzw. Eigenvektorbedingung lautet einfach (streng die Definition angewendet), ob es Funktionen und Zahlen mit
gibt. Wenn man hier die Funktion mit bezeichnet, steht hier direkt eine Differentialgleichung. Die Antwort kennen wir schon, zu jedem reellen gibt es die Eigenfunktionen (so nennt man das) mit einem beliebigen . Dies ist der gesamte Eigenraum (zur Erinnerung, bei gehört es zum Eigenraum, ist aber kein Eigenvektor).
Die Eigenräume sind also eindimensional. Hier ist also jede Zahl ein Eigenwert mit einem eindimensionalen Eigenraum.
