Differenzierbare Hyperfläche/Tangentialbündel als Kernbündel/Beispiel

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Der Tangentialraum ${}T_{P}Y$ zu ${}P\in Y$ ist der Kern des totalen Differentials ${}\left(Dh\right)_{P}$, das durch die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial h}{\partial x_{1}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial h}{\partial x_{n}}}(P)$ gegeben ist und daher als ${}(n-1)$-linearer Untervektorraum des ${}\mathbb {R} ^{n}$ vorliegt, siehe auch Fakt. Wir betrachten die Abbildung

$Y\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow Y\times \mathbb {R} ,\,(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P;\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i})$

und das zugehörige Kernbündel

${}E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in Y,\,\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq Y\times \mathbb {R} ^{n}\,.$

im Sinne von Bemerkung. Dieses Bündel stimmt unmittelbar faserweise mit den Tangentialräumen an ${}Y$ überein. Es handelt sich aber in der Tat um das Tangentialbündel, wie der Vergleich mit Aufgabe ergibt.