Topologischer Raum/Triviale Vektorbündel/Homomorphismus/Kernbündel/Bemerkung

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in C^{0}(X,\mathbb {R} )$ reellwertige stetige Funktionen auf ${}X$. Diese definieren eine Abbildung

$X\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow X\times \mathbb {R} ,\,(P,t_{1},\ldots ,t_{n})\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}),$

zwischen dem trivialen Vektorbündel vom Rang ${}n$ über ${}X$ und dem trivialen Vektorbündel vom Rang ${}1$ über ${}X$. Diese Abbildung ist stetig und über jedem Punkt ${}P\in X$ liegt die Linearform ${}\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ zur Zeilenmatrix ${}\left(f_{1}(P),\,\ldots ,\,f_{n}(P)\right)$ vor, daher handelt es sich um einen Homomorphismus von Vektorbündeln. Über den Kern ergibt sich in jeder Faser ${}\mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum, der die Dimension ${}n-1$ besitzt, es sei denn, alle Funktionen ${}f_{i}$ verschwinden simultan im Punkt ${}P$. Es sei ${}D(f_{i})={\left\{P\in X\mid f_{i}(P)\neq 0\right\}}$, dann ist ${}U=\bigcup _{i=1}^{n}D(f_{i})\subseteq X$ die offene Teilmenge, auf der zumindest ein ${}f_{i}$ nicht verschwindet und wo somit die Kerne stets die Dimension ${}n-1$ besitzen. Das Kernbündel ${}E$ zu den ${}f_{i}$ ist nun das Vektorbündel auf ${}U$, das faserweise durch die Kerne bestimmt ist, also

${}E={\left\{(P;t_{1},\ldots ,t_{n})\mid P\in U,\,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)t_{i}=0\right\}}\subseteq U\times \mathbb {R} ^{n}\,.$

Gemäß Aufgabe gibt es Trivialisierungen über ${}D(f_{i})$ und es handelt sich in der Tat um ein Vektorbündel.