Differenzierbare Kurve/Bild ist Graph des Betrags/Aufgabe/Kommentar

Die Betragsfunktion selbst ist nicht differenzierbar, sondern hat einen Knick, sodass die Existenz einer differenzierbaren Kurve, deren Bild ${}G$ ist, auf den ersten Blick unintuitiv erscheinen mag. Die naheliegende Parametrisierung

$t\mapsto (t,|t|)$

ist offenbar nicht differenzierbar, weil die zweite Koordinatenfunktion keine differenzierbare Funktion ist.

Anschaulich lässt sich diese Aufgabe als die Beobachtung interpretieren, dass man mit einem Fahrzeug bei hoher Geschwindigkeit nicht durch eine sehr scharfe Kurve fahren kann. Bei niedriger Geschwindigkeit ist das aber kein Problem. Je langsamer man fährt, desto schärfer kann man abbiegen. In unserem Fall haben wir es mit einem rechtwinkligen Knick zu tun, was sich als Grenzfall auffassen lässt, bei dem wir die Geschwindigkeit im Knickpunkt auf Null reduzieren. Außerhalb des Knickpunkts muss die Geschwindigkeit aber größer als Null sein, damit wir uns überhaupt bewegen.

Eine geeignete Parametrisierung der Kurve ist ${}t\mapsto (t^{3},{|}t^{3}{|})$. Das Bild dieser Kurve ist genau ${}G$, weil ${}t\mapsto t^{3}$ eine Bijektion auf ${}\mathbb {R}$ ist. Die Differenzierbarkeit kann koordinatenweise gezeigt werden, zum Beispiel mit Hilfe von Aufgabe.

Wie folgt das genau und was ist die Ableitung der Kurve? Ist sie tatsächlich Null für ${}t=0$?

Zur kommentierten Aufgabe