Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt
bedeutet nach
Definition
die Existenz des
Limes
-
Diese Existenz ist
(entsprechend
Fakt)
dazu äquivalent, dass man
-
![{\displaystyle {}\gamma (t+h)=\gamma (t)+hw+h\cdot r(h)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/537036a3c7d4ccbdf762341988465f2743035192)
mit einem Vektor
und einer in
stetigen Abbildung
mir
schreiben kann
(wobei
sein muss).
Dabei kann man hinten
durch
ersetzen
(wobei man auch
abwandeln muss).
Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der
totalen Differenzierbarkeit,
und zwar ist die lineare Abbildung durch
-
gegeben. Somit ist
-
![{\displaystyle {}\gamma '(t)=w=\left(D\gamma \right)_{t}(1)\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b015bc47d548b3aa10bb7ceb2d970e1e3db137a)