Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition der Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung ${}TV=V\times \mathbb {R} ^{n}$ für eine offene Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$.
(3) folgt aus Fakt  (1).
(4) folgt aus Fakt  (4).
(5). Zu einer offenen Menge

${}V\subseteq N\,$

ist ${}TV=\pi ^{-1}V\subseteq TN$ offen und daher ist ${}(T(\varphi ))^{-1}TV=T\varphi ^{-1}(V)\subseteq TM$ offen. Es genügt die Stetigkeit von

$T\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow TV$

nachzuweisen. Dabei kann man ${}V$ als ein Kartengebiet ansetzen und ${}\varphi ^{-1}(V)$ durch Kartengebiete überdecken. Dann genügt es, die Stetigkeit

$TU\longrightarrow TV$

für Kartengebiete ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq N$ zu zeigen. Es gibt dann ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}TU&{\stackrel {T(\varphi )}{\longrightarrow }}&TV&\\\downarrow &&\downarrow &\\U'\times \mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&V'\times \mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die vertikalen Abbildungen Homöomorphismen sind. Für die untere horizontale Abbildung sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung

$U'\times \mathbb {R} ^{m}\longrightarrow V'\times \mathbb {R} ^{n},\,(P,v)\longmapsto (\varphi (P),{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}),$

beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also ${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}$, betrachten müssen. Die ${}j$-te Komponente davon ist

$\sum _{i=1}^{m}v_{i}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{i}}}(P),$

und dies sind nach der ${}C^{1}$-Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).

Zur bewiesenen Aussage