(1) folgt unmittelbar aus der Definition der
Tangentialabbildung.
(2) folgt aus (1) unter Verwendung der natürlichen Identifizierung
für eine offene Menge im
.
(3) folgt aus
Fakt (1).
(4) folgt aus
Fakt (4).
(5). Zu einer offenen Menge
-
![{\displaystyle {}V\subseteq N\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74eadb934cd4197a94dbffb85a5afad67536eaea)
ist
offen und daher ist
offen. Es genügt die Stetigkeit von
-
nachzuweisen. Dabei kann man
als ein Kartengebiet ansetzen und
durch Kartengebiete überdecken. Dann genügt es, die Stetigkeit
-
für Kartengebiete
und
zu zeigen. Es gibt dann ein kommutatives Diagramm
-
wobei die vertikalen Abbildungen Homöomorphismen sind. Für die untere horizontale Abbildung sind wir in der unter (3) beschriebenen Situation. Wir müssen also die Stetigkeit der Abbildung
-
beweisen, wobei wir nur die hintere Komponente, also
, betrachten müssen. Die
-te Komponente davon ist
-
und dies sind nach der
-Differenzierbarkeits-Voraussetzung stetige Abbildungen.
(6) folgt aus (5).