Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Kurve/Tangentialklassen und R^n unter Karte/Fakt

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}P\in M$ ein Punkt, ${}P\in U=M$ offen und

$\alpha \colon U\longrightarrow V$

eine Karte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Abbildung

   $T_{p}M\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,[\gamma ]\longmapsto {\left(\alpha \circ \gamma {|}_{\gamma ^{-1}(U)}\right)}'(0),$

   ist eine wohldefinierte Bijektion.

2. Die durch diese Abbildung auf ${}T_{p}M$ definierte Vektorraumstruktur ist unabhängig von der gewählten Karte.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen