Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition

Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$-Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit oder differenzierbare Mannigfaltigkeit (der Dimension ${}n$ vom Differenzierbarkeitsgrad ${}k$). Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der Mannigfaltigkeit.