Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Funktion/Extrema/Differentialform/Nullstelle/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}P\in U\subseteq M$ ein Kartengebiet mit der Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. Dann besitzt auch ${}f\circ \alpha ^{-1}$ im Punkt ${}\alpha (P)$ ein lokales Extremum. Daher ist nach Fakt  (2) das totale Differential

$\left(Df\circ \alpha ^{-1}\right)_{\alpha (P)}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

die Nullabbildung. Daher ist

${}(df)_{P}=0$.

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