Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Diffeomorphismus/Rückzug/Maß/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass ${}S$ und ${}\varphi (S)$ jeweils ganz in einer Karte von ${}L$ bzw. von ${}M$ liegen, sagen wir ${}S\subseteq U$ mit der Karte

$\alpha \colon U\longrightarrow U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

und ${}\varphi (S)\subseteq V$ mit der Karte

$\beta \colon V\longrightarrow V'\subseteq \mathbb {R} ^{n}.$

Wir können weiter durch verkleinern der Karten davon ausgehen, dass ${}U$ und ${}V$ über ${}\varphi$ diffeomorph zueinander sind. Es liegt dann ein kommutatives Diagramm von Diffeomorphismen

${\begin{matrix}U&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&V&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\U'&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&V'&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, das ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}S&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&\varphi (S)&\\\!\!\!\!\!\alpha \downarrow &&\downarrow \beta \!\!\!\!\!&\\\alpha (S)&{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}&\beta (\varphi (S))&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

von messbaren Mengen induziert. Für die Volumenform ${}\omega$ auf ${}V$ gilt dabei

${}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )={\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}^{*}(\beta ^{{-1}*}\omega )\,.$

nach Fakt  (4). Die Volumenform ${}\beta ^{{-1}*}\omega$ besitzt auf ${}V'$ die Beschreibung ${}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ mit einer messbaren Funktion ${}g\colon V'\rightarrow \mathbb {R}$ und ${}\int _{\varphi (S)}\omega$ ist nach Definition gleich ${}\int _{\beta (\varphi (S))}gd\lambda ^{n}$. Ebenso besitzt ${}\alpha ^{{-1}*}(\varphi ^{*}\omega )$ auf ${}U'$ eine Beschreibung der Form ${}fdx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$. Diese Volumenform auf ${}U'$ stimmt mit dem Rückzug von ${}gdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{n}$ überein und dieser ist nach Fakt gleich

$(g\circ \psi )\cdot \det {\left({\left({\frac {\partial \psi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{1\leq i,j\leq n}\right)}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$

(mit ${}\psi =\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}$). Somit folgt die Aussage aus

Fakt.

Zur gelösten Aufgabe