Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser/Orientierung über Gradienten/Bemerkung

In der Situation von Fakt erhält man nicht nur eine nullstellenfreie Volumenform, sondern auch eine Orientierung auf jedem Tangentialraum und überhaupt eine orientierte Mannigfaltigkeit. Man definiert die Orientierung auf ${}T_{P}M$ dadurch, dass man festlegt, dass eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Orientierung repräsentiert, wenn die erweiterte Basis ${}\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}$ die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{n}$ repräsentiert. Diese Festlegung hängt von ${}\varphi$ ab. Wenn man beispielsweise ${}\varphi$ durch ${}-\varphi$ ersetzt, so ändert sich bei ungeradem ${}\ell$ die Orientierung.