Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{\ell }$

(mit ${}m=n-\ell \geq 0$) eine stetig differenzierbare Abbildung, die in jedem Punkt der Faser ${}M$ über ${}0\in \mathbb {R} ^{\ell }$ regulär sei.

Dann ist die Abbildung

$\bigwedge ^{m}T_{P}M\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{m}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P),v_{1},\ldots ,v_{m}),$

in jedem Punkt ${}P\in M$ eine Isomorphie, wodurch eine stetige nullstellenfreie Volumenform auf ${}M$ gegeben ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen