Differenzierbare reguläre Abbildung/R^n/Faser besitzt Volumenform über Gradienten/Fakt/Beweis

Beweis

Bei dieser Abbildung werden die Vektoren ${}v_{i}\in T_{P}M\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}$ und die Gradienten als Vektoren in ${}\mathbb {R} ^{n}$ aufgefasst. Nach Aufgabe und nach Fakt ist die Abbildung wohldefiniert und linear. Der Ausgangsraum der Abbildung ist wie der Zielraum eindimensional. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von

${}T_{P}M=\operatorname {kern} \left(D\varphi \right)_{P}=(\operatorname {Grad} \,\varphi _{1}(P),\ldots ,\operatorname {Grad} \,\varphi _{\ell }(P))^{\perp }\,.$

Da die Abbildung regulär ist, sind die Gradienten untereinander linear unabhängig, und wegen der Orthogonalitätsbeziehung erst recht linear unabhängig zu den ${}v_{i}$. Daher liegt insgesamt eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ vor, sodass nach Fakt die Determinante ${}\neq 0$ ist. Die Abhängigkeit dieser Volumenform vom Basispunkt ${}P$ ist stetig, wie aus der Stetigkeit der Gradienten, der Stetigkeit der Determinante und dem Satz über implizite Abbildungen folgt.

Zur bewiesenen Aussage