Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Die reelle Jacobi-Matrix von ${}(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt ${}P$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.

Zur bewiesenen Aussage