Es sei
offen und sei eine Abbildung
durch
-
![{\displaystyle {}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,f_{m}(x_{1},\ldots ,x_{n}))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b9d4bc3eb11bdf31e36aa2d9e88484a2f5698d)
gegeben. Es sei
ein Punkt. Für fixierte Indizes
und
betrachten wir die Abbildung
-
(wobei
![{\displaystyle {}I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f0f26f3c8795b5a82e275342dcc3bd42e64d8e)
ein reelles Intervall (bzw. eine offene Kreisscheibe) mit
derart sei, dass
gilt)
als Funktion in einer Variablen, wobei die übrigen Variablen
,
,
fixiert seien. Ist diese Funktion in
differenzierbar,
so heißt
partiell differenzierbar in
bezüglich der Koordinate
. Man bezeichnet diese Ableitung
(welche ein Element in
ist)
mit
-
und nennt sie die
-te partielle Ableitung von
in
.
Die Abbildung
heißt partiell differenzierbar im Punkt
, falls für alle
und
die partiellen Ableitungen in
existieren. Die
-te partielle Ableitung von
in
wird mit
-
![{\displaystyle {}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P):={\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P),\ldots ,{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544327a16e2343f504ba40182ec0d28cc04dc541)
bezeichnet.