Differenzierbarkeit/K/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ${}\varphi _{1}(P+v)=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)$ und ${}\varphi _{2}(P+v)=\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)$. Dann gilt

${}{\begin{aligned}(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P+v)&=\varphi _{1}(P+v)+\varphi _{2}(P+v)\\&=\varphi _{1}(P)+L_{1}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{1}(v)+\varphi _{2}(P)+L_{2}(v)+\Vert {v}\Vert \cdot r_{2}(v)\\&=(\varphi _{1}+\varphi _{2})(P)+(L_{1}+L_{2})(v)+\Vert {v}\Vert (r_{1}(v)+r_{2}(v)).\end{aligned}}$

Wir erhalten also die gewünschte Gestalt, da auch ${}r_{1}+r_{2}$ in ${}0$ stetig mit ${}(r_{1}+r_{2})(0)=0$ ist. Der Beweis der zweiten Aussage ist ähnlich.

Zur bewiesenen Aussage