Es sei
offen,
ein Punkt und sei
-
eine
Abbildung.
Dann ist
in
genau dann
partiell differenzierbar,
wenn die
Richtungsableitungen
von sämtlichen Komponentenfunktionen
in
in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.
In diesem Fall stimmt die
-te partielle Ableitung
von
in
mit der
Richtungsableitung
von
in
in Richtung des
-ten Standardvektors
überein, und
ist in
genau dann partiell differenzierbar, wenn die Richtungsableitungen in
in Richtung eines jeden Standardvektors existieren.