Differenzierbarkeit/R/Partielle Ableitungen hängen von Koordinaten ab/Beispiel

Wir betrachten die Abbildung ${}f\colon {\mathbb {R} }^{3}\rightarrow {\mathbb {R} }$, die durch

$(x,y,z)\longmapsto 2xy^{2}+x^{2}z^{3}+z^{2}$

gegeben sei. Es ist leicht die partiellen Ableitungen in jedem Punkt zu berechnen, nämlich:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\,{\frac {\partial f}{\partial y}},\,{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)_{(x,y,z)}=\left(2y^{2}+2xz^{3},\,4xy,\,3x^{2}z^{2}+2z\right)\,.$

Da diese alle stetig sind, haben wir nach Fakt das totale Differential in jedem Punkt gefunden.

Nehmen wir nun an, dass wir nur an der Restriktion dieser Funktion auf die Ebene

$E\subset {\mathbb {R} }^{3},\,E={\left\{(x,y,z)\mid 3x+2y-5z=0\right\}}$

interessiert sind. ${}E$ ist also der Kern der linearen Abbildung

$L\colon {\mathbb {R} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {R} },\,(x,y,z)\longmapsto 3x+2y-5z.$

Als Kern ist ${}E$ selbst ein (zweidimensionaler) Vektorraum. Die Einschränkung von ${}f$ auf die Ebene ergibt also die Abbildung

${\tilde {f}}=f{|}_{E}\colon E\longrightarrow {\mathbb {R} }.$

Diese Abbildung kann man als die Komposition ${}E\subset {\mathbb {R} }^{3}\rightarrow {\mathbb {R} }$ auffassen und diese ist nach der Kettenregel differenzierbar. Wenn wir die Inklusion von ${}E$ in ${}{\mathbb {R} }^{3}$ mit ${}N$ bezeichnen, so ist das totale Differential der Komposition in einem Punkt ${}P\in E$ gemäß der Kettenregel gerade die Abbildung

$\left(D{\tilde {f}}\right)_{P}=\left(Df\right)_{P}\circ N\colon E\longrightarrow {\mathbb {R} }.$

Daher ergibt es hier Sinn vom totalen Differential zu sprechen.

Es ergibt allerdings keinen Sinn von partiellen Ableitungen der Abbildung ${}f{|}_{E}\colon E\rightarrow {\mathbb {R} }$ zu sprechen, da es keine natürliche Basis auf ${}E$ gibt und daher auch keine natürlichen Koordinaten. Es ist leicht eine Basis von ${}E$ zu finden und damit Koordinaten, es gibt aber keine „beste Wahl“, und die partiellen Ableitungen sehen in jeder Basis verschieden aus.

Eine Basis von ${}E$ ist beispielsweise durch ${}v_{1}=(0,5,2)$ und ${}v_{2}=(5,0,3)$ gegeben, und eine weitere durch ${}w_{1}=(1,1,1)$ und ${}w_{2}=(2,-3,0)$. Mit solchen Basen erhalten wir Identifikationen ${}{\mathbb {R} }^{2}\rightarrow E$ und somit numerische Beschreibungen der Abbildung ${}{\mathbb {R} }^{2}\cong E\rightarrow {\mathbb {R} }$, womit wir die partiellen Ableitungen bezüglich der gewählten Basen berechnen können.

In der ersten Basis ist die Identifikation gegeben durch die Abbildung

$(s,t)\longmapsto sv_{1}+tv_{2}=s(0,5,2)+t(5,0,3)=(5t,5s,2s+3t)$

und dieser Ausdruck wird durch ${}f$ abgebildet auf

${}{\begin{aligned}2(5t)(5s)^{2}+(5t)^{2}(2s+3t)^{3}+(2s+3t)^{2}&=250ts^{2}+25t^{2}(8s^{3}+36s^{2}t+54st^{2}+27t^{3})+4s^{2}+9t^{2}+12st\\&=250ts^{2}+200s^{3}t^{2}+900s^{2}t^{3}+1350st^{4}+675t^{5}+4s^{2}+9t^{2}+12st.\,\end{aligned}}$

Die partiellen Ableitungen dieser Komposition (nennen wir sie ${}g$) bezüglich dieser Basis sind gegeben durch

$\partial g/\partial s=500ts+600s^{2}t^{2}+1800st^{3}+1350t^{4}+8s+12t\,$

und

$\partial g/\partial t=250s^{2}+400s^{3}t+2700s^{2}t^{2}+5400st^{3}+3375t^{4}+18t+12s\,.$

In der zweiten Basis ${}w_{1}=(1,1,1)$ und ${}w_{2}=(2,-3,0)$ ist die Identifikation gegeben durch

$(r,u)\longmapsto rw_{1}+uw_{2}=r(1,1,1)+u(2,-3,0)=(r+2u,r-3u,r)$

und dieser Ausdruck wird unter ${}f$ abgebildet auf

${}{\begin{aligned}2(r+2u)(r-3u)^{2}+(r+2u)^{2}r^{3}+r^{2}&=2r^{3}+4r^{2}u-12r^{2}u-24ru^{2}\\&=2r^{3}-8r^{2}u-6ru^{2}+36u^{3}+r^{5}+4r^{4}u.\,\end{aligned}}$

Die partiellen Ableitungen der Komposition (nennen wir sie ${}h$) bezüglich dieser Basis sind

$\partial h/\partial r=6r^{2}-16ru-6u^{2}+5r^{4}+16r^{3}u+12r^{2}u^{2}+2r\,$

und

${}\partial h/\partial u=-8r^{2}-12ru+108u^{2}+4r^{4}+8r^{3}u\,.$

Fazit: Koordinaten sind manchmal gut für Berechnungen, manchmal verdunklen sie aber auch den eigentlichen mathematischen Sachverhalt.