Differenzierbarkeit/R/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {R} }$-Vektorräume und es sei ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Es seien ${}\varphi _{1},\varphi _{2}\colon G\rightarrow W$ im Punkt ${}P\in G$ differenzierbare Abbildungen mit den totalen Differentialen ${}\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ und ${}\left(D\varphi _{2}\right)_{P}$.

Dann ist auch ${}\varphi =\varphi _{1}+\varphi _{2}$ in ${}P$ differenzierbar und es gilt

${}\left(D(\varphi _{1}+\varphi _{2})\right)_{P}=\left(D\varphi _{1}\right)_{P}+\left(D\varphi _{2}\right)_{P}\,.$

Ebenso gilt ${}\left(D(a\varphi _{1})\right)_{P}=a\left(D\varphi _{1}\right)_{P}$ für alle ${}a\in {\mathbb {R} }$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen