Differenzierbarkeit/R/Totale Differenzierbarkeit impliziert partielle Differenzierbarkeit/Jacobi-Matrix/Bemerkung

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ eine in ${}P\in G$ total differenzierbare Abbildung. Dann existieren nach Fakt und nach Fakt die partiellen Ableitungen

${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$

im Punkt ${}P$. Daher existiert die Jacobi-Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}.$

Diese Matrix beschreibt das totale Differential bezüglich der Standardbasen im ${}\mathbb {R} ^{n}$ und ${}\mathbb {R} ^{m}$. Es ist ja nach Fakt und Fakt

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(e_{i}\right)}={\left(D_{e_{i}}f\right)}{\left(P\right)}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{i}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{i}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

und dies ist die ${}i$-te Spalte der Jacobimatrix. Durch diese Eigenschaft ist aber die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis festgelegt.