Diffusion/Verteilungen für Zellen

Sei $I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$ eine Indexmenge für $m\times n$-Matrizen und $T:=\mathbb {N} _{0}$ eine Menge von Zeitpunkten. In dieser kurzen Einführung wird mathematisch die Verteilung einer Ausgangsmatrix $S_{t}:=(s_{(i,j,t)})_{(i,j)\in I,t\in T})\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ beschrieben. Um die Notation zu vereinfachen, wird die Menge der $m\times n$-Matrizen mit $\mathbb {M} :=Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ bezeichnet. Dabei wird die Verteilung einer einzelnen Zelle mit dem Index $(i_{o},j_{o})\in I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$ auf die $n\cdot m$ Zellen zum Zeitschritt $t+1\in T$ jeweils durch eine Abbildung $f_{(i_{o},j_{o},t)}$ beschrieben.

${\begin{aligned}f_{(i_{o},j_{o},t)}:&\mathbb {R} \to \mathbb {M} \\&x\mapsto f_{(i_{o},j_{o},t)}(x)\end{aligned}}$

In das Argument von $f_{(i_{o},j_{o},t)}$ wird z.B. die Veränderung der Schadstoffkonzentration zum Zeitpunkt $t+1$ berechnet. Da sich die Verteilung durch sich bewegende Objekte in der Zeit $t\in T$ verändert, verändern sich auch die Abbildungen und die Funktionen und die Funktionen werden daher auch mit dem Zeitparameter $t$ indiziert. Die neue Matrix $M_{t+1}:=(m_{(i,j,t+1)})_{i\in (i,j)\in I,t\in T}\in Mat(m\times n,\mathbb {R} )$ erhält man durch Summation der Abbildungen:

${\begin{aligned}F_{t}:&\mathbb {M} \to \mathbb {M} \\&S_{t}\mapsto F(S_{t})=S_{t+1}:=\sum _{(i_{o},j_{o})\in I}f_{(i_{o},j_{o},t)}(s_{(i_{o},j_{o},t)})\end{aligned}}$

Aufgabe

• Definieren Sie für eine einzelne Zelle mit dem Index $(i_{o},j_{o})\in I:=\{1,...,m\}\times \{1,...,n\}$ die Abbildung $f_{(i_{o},j_{o},t)}$. In einem ersten Schritt betrachten Sie einen Raum in dem sich keine Objekte bewegen und sich die Abbildung über die Zeit nicht verändern, d.h. es gilt zunächst:

$f_{(i_{o},j_{o})}=f_{(i_{o},j_{o},t)}$ für alle $t\in T$.

• Beschreiben Sie die Position von Objekten ebenfalls durch eine Matrix $M_{t}\in Mat(m\times n,\{0,1\})\subset \mathbb {M}$. Dabei kann die Matrix $M_{t}$ als Indikator verstanden, bei dem $m_{(i_{o},j_{o},t)}=1$ bedeutet, dass die Zelle mit dem Index $(i_{o},j_{o})$ zum Zeitpunkt $t$ durch ein Objekt belegt ist. $m_{(i_{o},j_{o},t)}=0$ bedeutet, dass in die Zeile mit dem Index $(i_{o},j_{o})$ Schadstoffe verteilt werden können.
• Erläutern Sie, welche Veränderungen Sie an der grundlegenden Datenstruktur vornehmen müssen, um Diffusion in einem dreidimensionalen Raum zu modellieren!
• Welche Gemeinsamkeiten und Unterschiede gibt es zwischen dem hier gewählten Ansatz und der Umsetzung von Diffusion durch Differentialgleichungen! Welche Vor- und Nachteile gibt es bei den Ansätzen?