Dimensionstheorie/Varietät/Lokal/Lineares Schnittverhalten/Bemerkung

Ein wichtiger und suggestiver Ansatz, um die lokale Dimension einer (eingebetteten) Varietät ${}V\subseteq K^{n}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ in einem Punkt ${}P\in V$ zu erfassen, ist es, ${}V$ mit affin-linearen Unterräumen ${}L$ unterschiedlicher Dimension, die durch den Punkt verlaufen, zu schneiden, und zu schauen, ob der Durchschnitt den Punkt isoliert, ob also in einer offenen Umgebung des Punktes ${}V\cap L=\{P\}$ gilt. Die lokale Dimension ${}d$ im Punkt ${}P$ ist dann definiert durch die Eigenschaft, dass es ${}n-d$-dimensionale lineare Räume durch den Punkt ${}P$ gibt, die den Punkt isolieren, aber keine ${}n-d+1$-dimensionale Räume mit dieser Eigenschaft. Beispielsweise ist

${}P\in V\subseteq K^{3}\,$

zweidimensional, wenn es Geraden gibt, die den Punkt herausschneiden, aber der Schnitt mit jeder Ebene den Punkt nicht herausschneidet.