Direkte Summe/Über Dimension/Aufgabe/Lösung
Es sei zunächst die Summe direkt. Wir führen Induktion über , wobei der Induktionsanfang klar ist. Es sei die Dimensionsaussage für ein schon bewiesen, und es liegen Untervektorräume vor. Die ersten Untervektorräume davon erfüllen dann ebenfalls die Durchschnittsbedingung, d.h. ihre Summe ist direkt und es gilt nach Induktionsvoraussetzung
Da auch
ist, folgt nach Fakt die Gleichung
Zum Beweis der Umkehrung nehmen wir an, dass
ist für ein . Wir wenden Fakt auf und an und erhalten