Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt

Wir erinnern daran, dass man zu einer Familie ${}M_{i}$, ${}i\in I$, von Mengen ${}M_{i}$ die Produktmenge ${}\prod _{i\in I}M_{i}$ definieren kann. Wenn alle ${}M_{i}=V_{i}$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen ${}K$-Vektorraum. Man spricht dann vom direkten Produkt der Vektorräume. Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt, ${}M_{i}=V$, so schreibt man dafür auch ${}V^{I}$. Das ist einfach der Abbildungsraum ${}\operatorname {Abb} \,{\left(I,V\right)}$.

Den Vektorraum ${}V_{j}$ findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel

$(x_{i})_{i\in I}{\text{ mit }}x_{i}=0{\text{ für alle }}i\neq j.$

Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von ${}0$ verschiedenen, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem ${}I$ nicht das ganze direkte Produkt ist.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und ${}K$ ein Körper. Zu jedem ${}i\in I$ sei ein ${}K$-Vektorraum ${}V_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}\bigoplus _{i\in I}V_{i}={\left\{(v_{i})_{i\in I}\mid v_{i}\in V_{i},\,v_{i}\neq 0{\text{ für nur endlich viele }}i\right\}}\,$

die direkte Summe der ${}V_{i}$.

Es liegt die Untervektorraumbeziehung

${}\bigoplus _{i\in I}V_{i}\subseteq \prod _{i\in I}V_{i}\,$

vor. Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe ${}V^{(I)}$. Es ist also

${}V^{(I)}\subseteq V^{I}\,$

ein Untervektorraum. Bei endlichem ${}I$ gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen ist die Inklusion aber echt. Beispielsweise ist ${}\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ der Folgenraum, dagegen besteht ${}\mathbb {R} ^{(\mathbb {N} )}$ nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von ${}0$ verschieden sind. Der Polynomring ${}K[X]$ ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den ${}KX^{n},\,n\in \mathbb {N}$. Jeder ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist „isomorph“ zur direkten Summe ${}\bigoplus _{i\in I}Kv_{i}$.