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Direktes Produkt/Eigenvektoren/Aufgabe/Lösung
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Direktes Produkt/Eigenvektoren/Aufgabe
Wir betrachten den Vektor
w
=
(
0
,
…
,
0
,
v
k
,
0
,
…
,
0
)
∈
V
1
×
⋯
×
V
k
−
1
×
V
k
×
V
k
+
1
×
⋯
×
V
n
.
{\displaystyle w=(0,\ldots ,0,v_{k},0,\ldots ,0)\in V_{1}\times \cdots \times V_{k-1}\times V_{k}\times V_{k+1}\times \cdots \times V_{n}.}
Wegen
v
k
≠
0
{\displaystyle {}v_{k}\neq 0\,}
ist dieser Vektor nicht
0
{\displaystyle {}0}
. Es ist
(
φ
1
×
⋯
×
φ
n
)
(
w
)
=
(
φ
1
(
0
)
,
…
,
φ
k
−
1
(
0
)
,
φ
k
(
v
k
)
,
φ
k
+
1
(
0
)
,
…
,
φ
n
(
0
)
)
=
(
0
,
…
,
0
,
a
v
k
,
0
,
…
,
0
)
=
a
(
0
,
…
,
0
,
v
k
,
0
,
…
,
0
)
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}(\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n})(w)&=(\varphi _{1}(0),\ldots ,\varphi _{k-1}(0),\varphi _{k}(v_{k}),\varphi _{k+1}(0),\ldots ,\varphi _{n}(0))\\&=(0,\ldots ,0,av_{k},0,\ldots ,0)\\&=a(0,\ldots ,0,v_{k},0,\ldots ,0),\end{aligned}}}
also liegt ein Eigenvektor von
φ
1
×
⋯
×
φ
n
{\displaystyle {}\varphi _{1}\times \cdots \times \varphi _{n}}
zum Eigenwert
a
{\displaystyle {}a}
vor.
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