Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Multiplikativ/Produktdarstellung/Fakt

Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ eine Dirichletreihe mit beschränkten multipliaktiven Koeffizienten ${}a_{n}$.

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}$ für alle ${}s$ mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ absolut und besitzt die Produktdarstellung

${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}a_{n}n^{-s}=\prod _{p}F_{p}(s)\,$

mit den Faktoren

${}F_{p}(s):=\sum _{k\in \mathbb {N} }a_{p^{k}}p^{-ks}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen